拿一个气球来，带到这个球形的房子里。随便什么气球都可以。

这个气球并不是瘪的，而是已经吹成某一个形状，什么形状都可以。

但是这个气球，我们还可以继续吹大它，而且假设气球的皮特别结实，肯定不会被吹破。

对了，还要假设，这个气球的皮是无限薄的。

好，接着我们继续吹大这个气球，一直吹。吹到最后会怎么样呢？

庞加莱对此进行猜想

吹到最后，一定是气球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙。

我们还可以换一种方法想想

如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。

另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。

我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。

看起来这是不是很容易想清楚？

但数学可不是“随便想想”就能证明一个猜想的，这需要严密的数学推理和逻辑推理。